Demostración del principio de conservación de carga.

$$\text{Ley de Gauss para el Campo Eléctrico: }\quad \nabla\cdot\vec{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0}$$ $$\text{Ley de Ampère-Maxwell: }\quad \nabla\times\vec{B} = \mu_0\cdot\vec{J} + \mu_0\epsilon_0\frac{\partial}{\partial t}\vec{E}$$ $$ \begin{equation} \nabla\cdot\left(\nabla\times\vec{B}\right) = \mu_0\nabla\cdot\left(\vec{J} + \epsilon_0\frac{\partial}{\partial t}\vec{E}\right) = \nabla\cdot\vec{J} + \frac{\partial\rho}{\partial t} = 0 \tag{1} \end{equation} $$

Derivación de la Ley de Kirchhoff para el potencial eléctrico.

Suponga una malla cerrada formada por por un generador y diversas impedancias en serie. Si asumimos, ahora, que el *campo magnético inducido por los componentes en su exterior es despreciable,$^\clubsuit$ entonces sabemos que la integral de linea del campo eléctrico para cualquier curva que no los atraviese será necesariamente nula.

A partir la Ley de Faraday-Lenz, podemos derivar aplicando el teorema de Stokes que la integral de linea cerrada del campo eléctrico es equivalente a la variación temporal del flujo del campo magnético en la superficie contenida por el camino descrito, ecuación $(1)$.

$$ \begin{equation} \oint\vec{E}\ dx = -\frac{\partial}{\partial t}\int_S\vec{B}\ dS \tag{1} \end{equation} $$

—Tomando la doble integral en cada lado de la ley de Farday para el vacío, y aplicando la linealidad de la integral obtenemos la expresión de la ecuación $(2)$.

$$\text{Ley de Faraday-Lenz: }\quad \nabla\times\vec{E} = -\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}$$ $$ \begin{equation} \int\int \left(\nabla\times\vec{E}\right) \ dx\ dy = -\frac{\partial}{\partial t}\int\int\vec{B}\ dx\ dy \tag{2} \end{equation} $$

—Por aplicación directa del teorema de Stokes, ecuación $(3)$, derivamos la expresión inicial, ecuación $(1)$.

$$ \begin{equation} \int\int \left(\nabla\times\vec{E}\right) \ dx\ dy = \oint\vec{E}\ dx\tag{3} \end{equation} $$

Por lo que al no haber presencia alguna de campo magnético, o en otras palabras, al no haber variación del flujo de campo magnético, su derivada será necesariamente nula, y por tanto también lo será la variación del potencial eléctrico. Este resultado, por otro lado, es totalmente lógico. Dado que integramos un campo conservativo$^\diamondsuit$ en una región continua, podemos definir un potencial. Una de las propiedades intrínsecas de la función potencial

Ahora podemos, entonces, trazar un diagrama como el de la figura 4. A partir de la definición del potencial eléctrico, ecuación $(4)$, si fraccionamos la integral de linea del campo eléctrico en tramos entonces podemos ver la integral como la suma de caidas de potencial, ecuación $(5)$.

$$ \begin{equation} \Delta\text{v} = \text{v}_b - \text{v}_a = \int_a^b\vec{E}\cdot\ d\vec{l} \tag{4} \end{equation} $$ $$ \begin{equation} \oint\vec{E}\ dx = \int_a^b\vec{E}\cdot\ d\vec{l'} + \int_b^c\vec{E}\cdot\ d\vec{l''} + \dots = \sum_i \text{v}_i = 0 \tag{5} \end{equation} $$

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$^\clubsuit$ uwu
$^\diamondsuit$ Dado que nuestro campo es electrostático

Demostración de la fórmula para el cálculo de resistencia serie equivalente.

Suponemos un conjunto $k$ de resistores conectados en serie, figura 5.

Por aplicación directa de la Ley de Ohm, sabemos que la resistencia equivalente a la red de resistores viene dada por la expresión de la ecuación $(1)$. Donde podemos expresar la caida de potencial total como la suma de los potenciales en cada resistor, individualmente.$^\clubsuit$

$$ \begin{equation} \text{R}_\text{eq} = \frac{\Delta\text{V}}{\text{I}} = \frac{\sum_k \text{v}_k}{\text{I}} \tag{1} \end{equation} $$

La expresión de la caida de potencial para cada resistor, de manera generalizada, sigue la ecuación (2), según la Ley de Ohm. Una particularidad de la conexión serie es que el flujo de corriente través de todas y cada una de las resistencias es el mismo.$^\diamondsuit$

$$ \begin{equation} \text{v}_k = \text{I}_k\cdot\text{r}_k = \text{I}\cdot\text{r}_k\tag{2} \end{equation} $$

Por substitución en la ecuación $(1)$, y tomando factor común de las corrientes, derivamos en la expresión para el cálculo de la resistencia equivalente partiendo de una conexión en serie, ecuación $(3)$.

$$ \begin{equation} \text{R}_\text{eq} = \frac{\sum_k \text{I}_k\cdot\text{r}_k}{\text{I}} = \frac{\cancel{\text{I}}\cdot\sum_k \text{r}_k}{\cancel{\text{I}}} = \sum_k\text{r}_k\tag{3} \end{equation} $$

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$^\clubsuit$ uwu
$^\diamondsuit$ owo

Demostración de la fórmula para el cálculo de resistencia paralelo equivalente.

Suponemos un conjunto $n$ de resistores conectados en paralelo, figura 6.

Por aplicación directa de la Ley de Ohm, sabemos que la resistencia equivalente a la red de resistores viene dada por la expresión de la ecuación $(1)$. Donde, a diferencia del caso con conexión tipo serie, ahora podemos expresar la corriente como suma de las corrientes de cada rama.$^\clubsuit$

$$ \begin{equation} \text{R}_\text{eq} = \frac{\Delta\text{V}}{\text{I}} = \frac{\Delta\text{V}}{\sum_k \text{i}_k} \tag{1} \end{equation} $$

Para cada rama, podemos denotar su corriente como sigue la ecuación (2), a partir de la Ley de Ohm.

$$ \begin{equation} \text{i}_k = \frac{\text{v}_k}{\text{r}_k} = \frac{\Delta\text{V}}{\text{r}_k} \tag{2} \end{equation} $$

Substituyendo $(2)$ en la ecuación $(1)$, y sacando factor común para la tensión, podemos derivar la expresión para la resistencia equivalente en una conexión tipo paralelo, ecuación $(3)$.

$$ \begin{equation} \text{R}_\text{eq} = \frac{\Delta\text{V}}{\sum_k \frac{\text{v}_k}{\text{r}_k}} = \frac{\cancel{\Delta\text{V}}}{\cancel{\Delta\text{V}}\cdot\sum_k \frac{1}{\text{r}_k}} = \left(\sum_k \frac{1}{\text{r}_k}\right)^{-1} \tag{3} \end{equation} $$

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$^\clubsuit$ uwu